龟兔赛跑

小兔、小龟沿同一路线长跑，小兔前半程的平均速度是a km/h，后半程的平均速度是bkm/h(a≠b)，小龟的全程平均速度是$\frac{a+b}{2}$km/h. 小兔、小龟谁先到达终点?为什么?

(改编自苏科八下教材)

拓展研究1

已知 $a,b$ 同号且 $a\ne b$，证明 $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}>2$。

更多讨论

为什么题目说同号？如果不同号如何？

变形

教材P151， 17题

证明： 当a>0, b>0时， $\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$$\geq2$

思考：

1. 负数时如何？
2. 教材题目有等号， 什么时候相等？

拓展研究2

a, b都是正整数， 比较$\frac{a+b}{2}$与$\sqrt[]{ab}$的大小。

小结1

• 上述式子就是以后高中会学到的大名鼎鼎的“基本不等式”， 整个高中不等式的大厦，都以这个不等式为地基。
• 这也是我们以前隐隐感觉到的“和定积最大”， “积定和最小”的底层表达式。
• 算数平均数比几何平均数大。这两个词不好理解的话， 可以理解为“加性平均比乘性平均大”。

小结2

判断两式大小的通用手段：

1. 作差
2. 看看是否有完全平方式，有的话， 差就是$\geq$0

小结3

a$^{2}$+b$^{2}$>=2ab

拓展研究3

试着把上面这个式子，和几何（直角三角形、勾股定理）的知识关联起来。画一个直观的图。